标准差计算公式

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标准差公式在统计学中用于计算一组数据的离散程度。标准差也被称为标准偏差,或者实验标准差。

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计算公式

标准差计算公式:标准差σ=方差开平方

详细解析

1、方差(Variance)

  • 记作 (\sigma^2) 或 (Var(X)),其中 (X) 是随机变量。

  • 对于一组数据 (x_1, x_2, \ldots, x_n),其平均数为 (\bar{x})。

  • 方差是每个数据点与平均数的差的平方的平均值,即 (\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2)。

2、标准差(Standard Deviation)

  • 记作 (\sigma) 或 (SD(X))。

  • 标准差是方差的平方根,即 (\sigma = \sqrt{\sigma^2}) 或 (\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2})。

  • 标准差与原始数据具有相同的单位,这使得它更容易被解释和理解。

案例解析

假设我们有以下一组数据:(2, 4, 6, 8, 10)。

1、计算平均数((\bar{x}))

(\bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6)

2、计算方差((\sigma^2))

对于每个数据点,计算其与平均数的差的平方:

((2 - 6)^2 = 16)

((4 - 6)^2 = 4)

((6 - 6)^2 = 0)

((8 - 6)^2 = 4)

((10 - 6)^2 = 16)

求这些平方值的平均数:

(\sigma^2 = \frac{1}{5} (16 + 4 + 0 + 4 + 16) = \frac{1}{5} \times 40 = 8)

3、计算标准差((\sigma))

(\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.83)(这里我们保留了小数点后两位)

所以,这组数据的标准差约为 2.83。这意味着大部分数据点与平均数的偏离程度在平均上约为 2.83 个单位。

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